История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по...
История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по...
РЕФЕРАТ
для сдачи
кандидатского экзамена по истории и философии науки
(История математики)
Тема: «История возникновения и развития методов реконструкции
математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду»
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………….......3
§ 1. Возникновение и развитие теории
динамических систем………………...5
§ 2. Развитие методов
реконструкции математических моделей динамических систем…………………………………………………………………………….15
Заключение……………………………………………………………………….23
Список литературы………………………………………………………………24
Введение
В
развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и
оказывает существенное влияние. Современное развитие науки
характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений.
Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области
действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы
совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Это вызвано
естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения
нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых
разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее,
что значительно увеличило возможности ее применения.
Математическое
моделирование по временным рядам – бурно развивающееся направление
математической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимации
множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящее
время эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений
и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.
Использование
современных компьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки
данных и современными математическими пакетами в значительной степени облегчает
получение модельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных
сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения
эмпирических моделей весьма разнообразны – от прогнозов будущего до технической
и медицинской диагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно
сложно[4].
В реферате
предпринята попытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновения и развития методов реконструкции
математических моделей динамических систем. В первом параграфе рассмотрено
возникновение теории динамических систем, понятий динамическая систем, вычислительный
эксперимент, математическая модель и хаос. Во втором параграфе
рассматривается развитие методов реконструкции математических моделей
динамических систем, применения компьютеров для проведения вычислительных
экспериментов.
§
1. Возникновение
и развитие теории динамических систем
Первая линия развития, которая вела к появлению теории динамических
систем, связана с небесной механикой. Основоположниками классической механики
принято считать Исаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа,
Уильяма Гамильтона. Результатом их деятельности стало формирование
представления о том, что сейчас называют гамильтоновой или консервативной
динамической системой. Проблема трёх тел в небесной динамике, – первая задача,
анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики
и хаоса. Впервые об этом написал Анри Пуанкаре. Результатом изучения системы
трёх тел стало развитие теории возмущений.
С развитием
компьютеров возможности изучения и наглядного представления сложной динамики
расширились. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной
динамики стала работа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения
звезды через галактический диск.
Значительный
прогресс в понимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом
связан с теорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И.
Арнольд, а также американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое
значение получили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.
Вторая линия
развития связана со статической физикой и формированием эргодической теории.
Как известно, состоятельное описание в статической физике достигается только в
рамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении,
что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены
физические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике.
Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривали
фазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большого
числа микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себе
система должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этом
пространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёл
эргодическую гипотезу – предположение о том, что имеется по существу только
одна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В
1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П.
Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должна
проходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности.
Результатом стало формирование отдельной математической дисциплины –
эргодической теории или метрической теории динамических систем.
Появление
компьютеров позволило в начале 50-х годов Ферми, Паста и Уламу предпринять
попытку пронаблюдать в вычислительном эксперименте процесс установления
термодинамического равновесия в цепочке связанных нелинейных осцилляторов.
Результат оказался совершенно неожиданным: вместо релаксации к равновесию
наблюдался квазипериодический процесс. Эта работа показала, что проблема
значительно сложнее, чем виделась раньше и дала тем самым толчок исследованиям,
приведшим впоследствии к представлению о распределённых системах, а также к
понятию солитона. Как выяснилось, свойство эргодичности само по себе не
является ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснования
статистической физики. По настоящему существенным является неустойчивость
фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий и
связанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Одним
из первых эту идею разработал Н. С. Крылов (1917-1947).
Количественная
характеристика неустойчивости траекторий известна как ляпуновский
характеристический показатель – величина, введённая русским математиком А.М.
Ляпуновым (1857-1918). В 1968 г. советский математик В.И. Оселедец опубликовал
важнейший результат – так называемую мультипликативную эргодическую теорему,
которая позволяет говорить о ляпуновских показателях, определённых не для одной
фазовой траектории, а для множества траекторий.
Были введены и
другие характеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, –
динамическая энтропия, известная как энтропия Колмогорова–Синая (1959) и
топологическая энтропия (1965).
(1917{1947)
Третья
линия развития связана с радиотехникой, электроникой, теорией автоматического
регулирования. Основоположником этого направления развития теории динамических
систем был Б. Ван-дер-Поль. С этим именем связан генератор и осциллятор
Ван-дер-Поля – классическая модель нелинейной системы, демонстрирующей
периодические автоколебания. Около 1927 г. Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк исследовали
динамику такого генератора под периодическим внешним воздействием. Режим работы
устройства контролировался по звуку работы в наушниках. Исследователи отметили явление синхронизации при определенных рациональных
соотношениях частоты воздействия и собственной частоты и шумоподобные колебания при
переходах между областями захвата. Возможно,
это первое документально зарегистрированное экспериментальное
наблюдение хаоса.
Работа Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка повлияла
на работу Картрайт и Литтлвуда (1945). В этой работе, посвященной
математическому исследованию уравнения автогенератора
под периодическим внешним воздействием, была обнаружена необычайная сложность динамики, в частности,
наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодических
орбит. Эта работа впоследствии оказала влияние на математиков, создававших основы математической теории сложной динамики и
хаоса.
В России в 20-е годы в Московском университете сформировалась сильная научная школа Л.И.Мандельштама
(1879-1944). Интересы этой школы охватывали, в частности, радиофизику,
оптику, колебательные процессы в системах различной природы. Мандельштам
первым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейных
колебаний, — до этого полагали, что
нелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик Мандельштама А.А. Андронов (1901-1952) установил, что
адекватным математическим образом
периодических автоколебаний являются предельные
циклы, введенные Пуанкаре в его качественной теории дифференциальных уравнений. Мандельштам сразу понял важность
этого достижения и настоял на немедленной публикации результата. Андронов
привлек также для анализа автоколебательных
систем созданный А.М.Ляпуновым аппарат теории устойчивости. Одно из важных достижений — исследование
момента возникновения автоколебаний
при изменении параметров, ситуации,
которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде (Горьком),
где вокруг него формируется крупная
научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходит классическая книга
А. А. Андронова, А.А.Витта и
С.Э.Хайкина «Теория колебаний». Один из соавторов книги – Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено и
восстановлено только в последующих
изданиях.
Одним из важных достижений развивающейся
теории нелинейных колебаний стало формирование Андроновым и Понтрягиным представления о грубых или структурно-устойчивых
системах. Представим себе
пространство, точки которого изображают динамические системы. Система грубая, если около соответствующей ей
точки пространства систем можно указать такую окрестность, что в ней будут
располагаться только системы с топологически эквивалентным устройством
фазового пространства. В пространстве
параметров грубые системы занимают целые области. Эти области
разграничены поверхностями, где располагаются негрубые системы коразмерности один. На этих поверхностях могут располагаться линии коразмерности два и т. д.
Исследовательская программа нелинейной теории
колебаний по Андронову и Понтрягину и состоит в
выделении и изучении грубых ситуаций, а затем негрубых в порядке возрастающей коразмерности.
Что касается негрубых ситуаций, то они составляют предмет теории бифуркаций — глубокой и хорошо развитой математической дисциплины, одного из краеугольных
камней нелинейной динамики.
С 1970 г. с интервалом в 2 года в Горьком
организуются школы-семинары по нелинейным колебаниям и волнам, в которых участвуют ведущие советские ученые. Этих школ состоялось
9, и они во многом определили распространение в нашей стране идей нелинейной динамики и динамического хаоса. Еще одна
школа, восстанавливающая прерванную традицию, уже международная, состоялась
в 1995 г. В формировании, распространении и популяризации в России представлений о хаотической динамике большую роль сыграли А. В. Гапонов-Грехов, Ю.И.Неймарк,
М.И.Рабинович, Л. П. Шильников. В
1979 г. Кияшко, Пиковский и Рабинович предложили, по-видимому, первый
простой радиотехнический автогенератор, в
котором целенаправленно был реализован режим хаотических автоколебаний.
Четвертая линия развития связана с
гидродинамикой и проблемой турбулентности. В 1883 г. была опубликована работа английского физика Осборна Рейнольдса (1842-1912) «Экспериментальное исследование обстоятельств,
которые определяют, будет ли движение воды прямолинейным
или волнистым, и о законе сопротивления в параллельных
каналах». В зависимости от безразмерного параметра, известного теперь как число
Рейнольдса), движение воды в трубке было ламинарным или турбулентным. Хотя
основные уравнения, описывающие динамику
вязкой жидкости — уравнения Навье-Стокса, уже были известны, причины
возникновения турбулентности оставались загадкой.
С тех пор вопрос о природе турбулентности
стоял перед наукой, приобретая со временем все большую остроту. Около 1920 г. английский физик
Л.Ричардсон развил качественные
представления о том, что в турбулентном течении имеется перенос энергии от крупных ко все более и более мелким завихрениям, пока энергия не диссипирует из-за
вязкости в малых масштабах. В 1941 г. была предложена теория турбулентности Колмогорова-Обухова. Анализ основывался на
предположении, что при больших числах
Рейнольдса турбулентное состояние можно считать локально однородным и
изотропным в статистическом смысле, и о том, что имеет место каскадная
передача энергии от крупных пространственных
масштабов к мелким в так называемом
«инерционном интервале» — области масштабов, где вязкость несущественна. Замечательно простая и глубокая теория приводила ко вполне определенному
теоретическому предсказанию —
распределение энергии по спектру должно быть пропорционально /г~5'3, где к –
волновое число («закон пяти третей»). К настоящему времени получены
экспериментальные данные, хорошо
согласующиеся с этим законом, но осознана также необходимость внесения уточнений в теорию.
Другое направление в попытках понять природу турбулентности состояло в поисках ответа на вопрос — как возникает
турбулентность, если постепенно
увеличивать число Рейнольдса, начав от малых значений, когда течение
заведомо ламинарное. В 1944 г. была
опубликована статья советского физика Л.Д.Ландау (1908— 1968) «К проблеме турбулентности». В этой
замечательной для своего времени
статье Ландау предположил, что турбулентность возникает в результате большого числа (каскада) последовательных бифуркаций, каждая из которых состоит в
появлении колебаний с новой
частотой. Вновь возникающие частоты в типичном случае находятся в
иррациональном соотношении с ранее возникшими
частотами. Аналогичные представления развивал несколько позже немецкий
математик Э.Хопф (1902-1983; работа «Математический
пример, демонстрирующий особенности турбулентности» опубликована в 1948). Поэтому данную картину возникновения
турбулентности называют сценарием Ландау-Хопфа. Подчеркнем, что этим работам предшествовало формирование представлений об автоколебаниях, предельных циклах и
бифуркациях в радиофизике и теории колебаний.
В 1963 г. американский метеоролог Э.Лоренц
опубликовал статью «Детерминированное непериодическое
течение», в которой обсуждались результаты численного интегрирования с помощью компьютера системы трех обыкновенных
дифференциальных уравнений, моделирующей динамику жидкости при
конвекции в подогреваемом снизу слое.
Будучи хорошо образованным математически, Лоренц подверг полученные результаты
тщательному и глубокому обсуждению, акцентировав внимание на взаимосвязи
между наблюдаемой сложной динамикой и
присущей системе неустойчивостью
фазовых траекторий. Позднее это свойство хаотической динамики
пропагандировалось им под названием «эффект бабочки»:
в приложении к метеорологии взмах крыльев
бабочки может через достаточное время повлечь существенное изменение погоды где-то совсем в другом
месте. Примерно в то же самое время
А. Н. Ораевский с соавторами также получили
непериодические решения для аналогичных уравнений в теории одномодового
лазера. Как работа Лоренца, опубликованная в
метеорологическом журнале, так и работа Ораевского не были своевременно замечены и оценены.
В 1971 г., основываясь на достигнутом к
этому времени продвижении в математических исследованиях,
Д.Рюэль и Ф. Такенсвыступили с работой «О природе
турбулентности». Подвергнув критике теорию Ландау, они
аргументировали, что уже после включения в игру относительно небольшого числа
частот (трех или четырех в зависимости от
некоторых математических деталей) динамика
может стать турбулентной и, в частности, демонстрировать характерный для
случайного процесса сплошной спектр. Это связывалось с появлением в фазовом
пространстве «странного аттрактора»
— ключевой термин, введение которого определило историческое значение работы Рюэля и Такенса.
Подчеркивалось наличие
неустойчивости фазовых траекторий на странном аттракторе и его нетривиальная геометрическая структура — он
представлял собой то, что стали
называть фрактальным множеством или просто фракталом.
С точки зрения интерпретации результатов,
работа Рюэля и Такенса также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, которые возникают в связи с предложенной
ими картиной перехода к
турбулентности, до сих пор остаются открытыми. Надо сказать, что аргументация и в работе Ландау, и в работе Рюэля и Такенса носила столь общий характер, что
имела равное отношение как к
возникновению турбулентности, так и к возникновению сложной динамики в
диссипативных системах другой физической
природы. Дальнейшее понимание возможных типов перехода произошло благодаря еще одной линии развития.
Попытки математического описания биологических проблем динамики популяций восходят к Томасу Мальтусу
(1766-1834), автору нашумевшей концепции о том, что численность людей возрастает
в геометрической прогрессии, а средства поддержания жизни лишь в
арифметической. Поэтому численность населения должна регулироваться войнами, эпидемиями и пр. Марксисты, как известно, заклеймили эту теорию как
человеконенавистническую. Не входя в
полемику, заметим, что в отсутствие факторов, сдерживающих рост
населения, изменение численности популяции из года
в год «по Мальтусу» можно описать как хп+\ = Rxn, где R — параметр, определяющий условия жизни популяции. Ввести сдерживающий фактор можно, если добавить в уравнение
нелинейный, например, квадратичный
член: жп+1 = R(xn — x2n). Полученное соотношение называют логистическим
отображением и оно действительно неплохо описывает, по крайней мере, с
качественной стороны, динамику некоторых биологических
популяций.
Страницы: 1, 2
|
|