История чисел и счисления

История чисел и счисления

Введение

С небольшими числами иметь дело очень просто: наборы из трех-четырех предметов легко узнать «в лицо», так что считать их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже не обойтись без подсчета. Чтобы пересчитать стадо, проще всего использовать камешки: один камешек – один объект, в данном случае овца.

Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно не набрать, и поднять такой мешок не каждому под силу. В некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20… [№3.1, стр. 343]

Значение цифр и чисел в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что в составе человеческого мозга есть структуры (кора левого полушария у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких структур нет ни у одного другого животного. Благодаря им человек может писать, читать, говорить, произносить самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного мозга человек смог в первый раз произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни без алфавита и слов.

В математике таким алфавитом являются цифры, а словами – числа. Есть много общего: своеобразными языками в математике являются системы счисления. В таких алфавитах буквы – цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ.

Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще.

Глава 1.   История цифр. Числа и счисление.

§ 1  На заре появления цифр.

Давно, очень давно это было. Человек сидел у водопоя, спря­тавшись в кустах, и ждал зверя. К воде подошел олень с большими ветвистыми рогами. Охотник заг­нул на руке палец. Затем к водо­пою вышел безрогий олень. Охот­ник загнул еще один палец. Всю ночь просидел в засаде охотник, но больше ни одного зверя не уви­дел. Утром он рассказывал стар­шему соплеменнику о своих наб­людениях:

— Сижу, смотрю, вышел к во­допою рогатый олень (охотник для подтверждения положил на ладонь угловатый камешек), а за­тем вышел безрогий олень (поло­жил рядом с первым овальный ка­мешек). Больше зверей не было до утра.

— Так к водопою сначала по­дошел один олень, а затем еще один? — переспросил родич и по­днял два пальца.

— Да, — ответил охотник.

К следующей ночи старший со­брал большую группу мужчин с копьями. Он тщательно проду­мал, куда посадить одного охот­ника, куда — двух, а куда и трех. Все были размещены у водопоя так, чтобы подошедший олень по­пал в окружение. Охота была удачной.

Этот случай показывает, что уже на заре развития человече­ского общества люди замеча­ли, что различные группы предме­тов — звери, охотники, камни — могут иметь одно и то же число: два пальца, два зверя, два камня и т. д. В наши дни об этом знает лю­бой первоклассник. Если разло­жить напротив друг друга, напри­мер, кружки и палочки, нетрудно убедиться, что кружков окажется столько же, сколько палочек. Этим мы устанавливаем взаим­но-однозначное соответствие. Так и первобытные люди, сопо­ставляя одну группу (множество) предметов с другой (другим мно­жеством), видели сходство и раз­личие обеих групп (множеств).

В то далекое время понимание того, что одна группа (множество) может быть похожа на другую (множество), стало для человека громадным продвижением в его развитии. Это было величайшим открытием. Оно помогло людям научиться видеть взаимно-одно­значное соответствие предметов двух множеств, а затем и считать эти предметы.

Постепенное совершенствова­ние жизненного уклада первобыт­ных людей способствовало воз­никновению у них потребности считать, но прошли десятки сто­летий, прежде чем люди приобре­ли это умение.

Вначале человек научился вы­делять единичные предметы. На­пример, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожа­ка, из выводка птенцов — одного птенца и т. д Научившись выде­лять один предмет из множества других, говорили: «один», а если их было больше — «много» Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: «луна», «солнце». Та­кое совпадение названия предме­та и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), приве­ли человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

В некоторых племенах Австра­лии долгое время пользовались только числами «один» и «два», а все другие называли, повторяя эти числа или говоря «много».

В одном из австралийских пле­мен считали иначе. Один называ­ли «мал», два — «булан», три — «гулиба», т. е. названия имели только три первых числа, а другие числа, например 4, называли «бу­лан-булан» и т. д. Эти историчес­кие факты показывают, как люди учились считать. Так как в дале­кие времена общение между раз­ными народами было затруднено, то способы счета и названия чи­сел в разных местах одной страны были неодинаковы. [№2, cтр. 11-13]

С появлением городов и каменных сооружений все больше людей стали заниматься письменностью и началами математики. Самые сведущие придумали специальные знаки для записи чисел. Эти знаки, выполняющие роль цифр, были удобны для чтения, но для их записи требовалось довольно много времени.

Первый способ обозначения чисел, приходящий на ум, - палочками. Что может быть легче? Одна палочка значит один, две – два и так далее. Вот одна интересная история о такой нумерации.

В марте 1917 г. жители Ленинграда (тогда — Петро­града) были не мало озадачены и даже встревожены таинственными знаками, появившимися, неизвестно как, у дверей многих квартир. Молва приписывала этим зна­кам разнообразные значения. Они имели форму черточек, чередующихся с кре­стами.

Пошли зловещие слухи о грабительских шайках, помечающих квартиры будущих жертв. «Комиссар вре­менного правительства по г. Петрограду», успокаивая население, утверждал, что «таинственные знаки, которые чьей-то невидимой рукой делаются на дверях мирных обывателей в виде крестов, букв, фигур, как выяснилось по произведенному дознанию, делаются провокаторами и германскими шпионами»; он приглашал жителей эти знаки стирать и уничтожать, «а в случае обнаружения лиц, занимающихся этой работой, задерживать и напра­влять по назначению».

Подобные знаки замечены во многих домах на черных лестницах у дверей квартир. Обычно знаки этого типа имеются у всех хводных дверей данного дома, причем в пределах одного дома двух одинаковых знаков не наблюдается. Их мрачное начертание, естественно, внушаеат тревогу жильцам. Между тем, смысл их легко раскрывается, если сопоставить их с номерами соответствующих квартир. Нетрудно теперь догадаться, что кресты означают десятки, а палочки – единицы; так оказалось во всех без исключения случаях. Эта своеобразная нумерация, очевидно, принадлежит дворникам-китайцам, не понимавшим наших цифр. [№1, стр. 9-11]

§2  Старинные способы нумерации.

Более сложный способ обозначения чисел был придуман римлянами. Они записывали числа черточкми, и времени для этого требовалось меньше. Ученые предполагают, что римская пятерка – это упрощенное изображение руки с пятью растопыренными пальцами, а десять – это две сложенные вместе пятерни.

В старину на Руси цифры обозначались буквами. Для указания того, что знак является не буквой, а цифрой, сверху над ним ставился специальный знак « ~ », называемый «титло» (см. рис.). Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и первые девять цифр, но у них слева внизу ставился специальный знак. Десятки тысяч назывались «тьмы», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками . Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много народу. Сотни тысяч назывались «легионами» («легеонами»), их обозначали, обводя знаки единиц кружками из точек. Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами», и их обозначали, обводя знаки единиц кружками их крестиков или ставя по обе стороны буквы букву К. Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под ней ставили квадратные скобки. Остальные числа записывались буквами слева направо. При записи больших чисел, чем тысячи, в практической деятельности часто вместо кружков знак, обозначающий тысячу, ставили перед буквами, обозначавшими десятки и сотни. В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до числа 1050. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети». [№4, стр. 135-137]

В источнике №2 сообщается, что тьмой называли 106, легеоном – 1012, леодром – 1024, вороном – 1048, а колодой, самым большим числом великого счета, - 1049. В том, что дальше 1050 счет не велся оба источника согласны.

Сходная нумерация существовала у греков.Для нумерации чисел греческие математики придумали алфавитную нумерацию. Первая буква их алфавита – альфа обозначала 1, вторая – бета – 2 и т. д.

В дореволюционное время на вещах, купленных у офеней или в частных магазинах, особенно провин­циальных, можно было зачастую заметить непонятные буквенные обозначения вроде

а ве в уо.

Это не что иное, как цена вещи без запроса, которую торговец обозначал на товаре, но так, однако, чтобы ее не мог разгадать покупатель. Бросив взгляд на эти буквы, торговец сразу проникал в их скрытый смысл и, сделав надбавку, называл покупателю цену с за­просом.

Система обозначений была весьма проста. Торговец выбирал какое-нибудь слово, составленное из 10 различ­ных букв; чаще всего останавливали выбор на словах: трудолюбие, правосудие, ярославецъ, миролюбецъ, Миралюбовъ. Первая буква слова обозначала—1, вторая — 2, третья — 3 и т д; десятою буквою обозначался ноль С по­мощью этих условных букв-цифр торговец обозначал на товарах их цену, храня в строгом секрете «ключ» к своей системе прибылей.

Если  например, выбрано было слово

правосудие

1234567890

то цена 4 р   75 к. обозначалась так:

в уо.

 Иногда цена на товаре писалась в виде дроби, например:

                                                        ое

                                                           тро

Это значит при ключе «трудолюбие», что надо запросить 1 р. 25 к., себе же книга стоила 50 коп. [№1, стр. 13-14]

«Нумерация»      в то время давно уже была в широком употреблении и понятна была каждому, даже неграмотному крестьянину. Восходит она, без сомнения, к глубокой древности и употребительна была не только у нас. Такая нумерация называется «народной».

Любопытно, что эта народная нумерация была не­когда у нас даже узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщи­ками податей записи в податной тетради. «Сборщик, — читаем мы в старом «Своде законов», — прини­мая от кого-либо из домохозяев вносимые к нему деньги, должен сам, или через писаря, за-писать в подат­ной тетради против имени того домохозяина, которого числа сколько получено денег, выставляя количество принятой суммы цифрами и знаками. Знаки сии для сведения всех и каждого ввести повсеместно одинаковые, а именно:

В другом месте того же тома «Свода законов» нахо­дим еще раз упоминание об обязательном употреблении народных числовых обозначений. Приводятся особые знаки для тысячи рублей—в виде шестиконечной

звезды с крестом в ней, и для ста рублей — в виде колеса с 8 спица­ми. Но обозначения для рубля и десяти копеек здесь устанавливаются иные, чем в предыду­щем законе.

Вот текст закона об этих так называемых «ясачных знаках»:

«Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен бу­дет ясак, кроме изложе­ния словами, было по­казываемо особыми зна­ками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания *. Употребляе­мые в квитанции знаки означают: (звезда) тысяча рублей, (колесо) сто рублей, (квадрат) десять рублей, X один рубль, ||||| |||| десять коп., | копейку.

«Дабы не можно было сделать здесь никаких прибав­лений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями». Например, 1232 р. 24 к. изображают так, как показано на рисунке. [№1, стр. 11-13]

Как видите, употребляемые нами арабские и римские цифры — не единственный способ обозначения чисел. В старину применялись у нас, да еще и теперь кое-где по деревням применяются другие системы письменного счисления, отдаленно сходные с римскими и совсем не сходные с арабскими цифрами.

§3  Системы счисления.

Как уже было сказано, в некоторых сообществах для счета использовались пальцы рук, однако этот способ годился только в пределах 10. Кое-где прогресс пошел дальше: к счету приобщали и пальцы ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Систе­ма счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого сче­та. Существовало, однако, несколько отклонений от этой системы. Например, 4000 лет назад жители Древнего Вавилона использо­вали систему счета до 60. Следы шестидесятеричной системы в наше время сохрани­лись в делении часа и углового градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

По мере развития речи люди начали ис­пользовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предме-ш, чтобы назвать их количество. Для изо­бражения чисел стали применяться ри­сунки, чертежи или символы. Например, для ответа на вопрос «Сколько овец в ста­де?» достаточно нарисовать или начертить группу животных. Но считать можно го­раздо быстрее, применяя для обозначения чисел какие-либо символы. Египтяне для чисел до 9 использовали последовательно­сти простых штрихов и специальный сим­вол - для 10. Вавилоняне имели аналогич­ную систему, а римляне ввели новый сим­вол при достижении 5. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10. [№3.1, стр. 343-344]

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических изображений для цифр, разумеется, не принципиален. Современные изображения цифр – простая стилизация древних арабских цифр. Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

В десятичной системе каждая цифра несет двойную информацию: свое собственное значение и место, которое она занимает в записи числа (разряд). Такие системы счисления называются позиционными. Римскую систему счисления можно скорее назвать аддитивной, поскольку чосло образуется при сложении и вычитании значений специальных значков. В аддитивных системах счисления выполнять арифметические действия безнадежно – неудивительно, что такие системы не прижились. [№5, стр.33-34]

Вот запись из дневника одного математика:

«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 мне приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.

На первый взгляд странная биография, но только на первый. Разберемся в чем тут дело.

А все дело в том, что отрывок написан с использованием недесятеричной системы счисления, такой привычной для большинства людей. Можно легко догадаться, какую именно систему использовал автор. Секрет выдается фразой: «Спустя год (полсе 44 лет), 100-летним молодым человеком…» Если в от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, значит цифра 4 – наибольшая в этой системе счисления, т. е. основанием системы является 5. Немного сложнее перевести остальные числа в «родную» десятичную. Например, несложно догадаться, что одна единица третьего разряда равна 5 во второй степени, т. е. 25 (так же в десятичной системе одна единица третьего разряда равна 100, т. е. 102). А единица второго разряда равна 51, третьего – 50. Теперь несложно восстановить реальную биографию чудака-автора.

При желании можно создать собственную биографию в таком же роде. Скажем, вам 17 лет. Воспользуемся для записи возраста четвертичной системой счисления. Разделим 17 на 4:

                                               17 : 4 = 4, остаток 1

Остаток – это и есть число единиц первого разряда. Результат целочисленного деления снова поделим на 4:

                                                      4 : 4 = 1, остаток 0

Теперь остаток – число единиц второго разряда. Ну а последнее частное – единицы третьего разряда. Теперь составим из наших ответов число. Получили 101, т. е. 1710=1014.

         Помеха может возникнуть вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать обозначений цифр. При изображении чисел в системах с основаниями больше 10 может явиться надобность в цифрах «десять», «одиннадцать» и т. д. [№1, стр. 56-57]

Страницы: 1, 2