Использование разнообразных форм уроков при изучении темы "Квадратные уравнения" в 8 классе

·                   формулу нахождения дискриминанта;

·                   формулу нахождения корней квадратного уравнения;

·                   алгоритмы решения уравнений данного вида.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

·                   решать неполные квадратные уравнения;

·                   решать полные квадратные уравнения;

·                   решать приведенные квадратные уравнения;

·                   находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

·                   делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

·                   преобразования данного уравнения к простейшим;

·                   решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

При изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Для изучения данной темы были проанализированы современные школьные учебники разных авторов, таких как А.Г. Мордкович, С.М. Никольский, Ю.Н. Макарычев, М.И. Башмаков (Приложение 6)

Можно сделать следующие выводы:

1) во всех современных школьных учебниках алгебры методическая линия изучения квадратных уравнений одинакова.

2) в учебнике под ред.М.И. Башмакова дается историческая справка, а в других учебниках этого нет.

3) в учебниках алгебры С.М. Никольского и Ю.Н. Макарычева при изучении темы "Квадратные уравнения" рассматриваются прямая и обратная теорема Виета.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа [5,131] обусловливает постепенное накопление как их видов, так и "фонда" тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему знаний, умений и навыков; они дополняют ее новым фактическим содержанием.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы "Квадратные уравнения":

I этап - "Решение неполных квадратных уравнений".

II этап - "Решение полных квадратных уравнений".

III этап - "Решение приведенных квадратных уравнений".

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где а ≠ 0 и с≠ 0, ах2 + bх = 0, где а ≠ 0 и

b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) найти х2;

2) найти х.

Например, 5х2 = 0. Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Если ах2 + с = 0, с ≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 - 5 = 0, Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5. Таких чисел только два  и - . Таким образом, уравнение х2 - 5 = 0 имеет два действительных корня: x1 =, x2 = -  и других действительных корней не имеет.

3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) вынести общий множитель за скобки;

2) найти x1, x2.

Например, х2 - 3х = 0. Перепишем уравнение х2 - 3х = 0 в виде х (х - 3) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х (х - 3) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два корня: x1 = 0; x2 = - ;

3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду

ах2 = - с и далее х2. = -  В случае, когда - < 0, уравнение х2 = -  не имеет действительных корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда -  > 0, т.е. -  = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня  = ,  = - , в этом случае допускается более короткая запись = . Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a,b,c - заданные числа, а ≠ 0, х - неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Дискриминант уравнения равен: D = p2 - 4q. Рассматриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0 не имеет действительных корней. Например, 2х2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7. D = b2 - 4ас = 42 -  = 16 - 56 = - 40. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, имеет два равных корня, которые находятся по формуле .

Например, 4х - 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = - 20, с = 25. D = b2 - 4ас = (-20) 2 - = 400 - 400 = 0. Так как D = 0, то данное уравнение имеет два равных корня, которые находятся по формуле . Значит,

3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0 имеет два корня, которые находятся по формулам: ;  (1)

Например, 3х2 + 8х - 11 = 0. Решение: а = 3, b = 8, с = - 11. D = b2 - 4ас = 82 -  (-11) = 64 + 132 = 196. Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам:

.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.

1.                 Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 - 4ас.

2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня, который находятся по формуле

4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня:

; .

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики - люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой:

. (2)

Итак, можно сделать вывод, что квадратные уравнения можно решать подробно, используя сформулированное выше правило; можно - записать сразу формулу (2) и с ее помощью делать необходимые выводы [1,98].

На третьем этапе рассматриваются приведенные квадратные уравнения, которые имеют вид х2 +px + q = 0 (3), где p и q - данные числа. Число p - коэффициент при х, а q - свободный член.

Дискриминант уравнения равен: D = p2 - 4q. Приведенные квадратные уравнения получаются из полного квадратного уравнения следующим образом:

Где  и .

Рассматривают 3 случая:

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле

.

(Приложение 1) (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня:

3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:

Отсюда следует, что:

1)                если  то уравнение (3) имеет два корня;

2)                если  то уравнение имеет два совпадающих корня;

3)                если  то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения [23,17].

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Приложение 2)

Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то

x1 + x2 = - p,

x1 x2 = q. (5)

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (1540-1603), (Приложение 3) который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х2 - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 - корни уравнения х2 + px + q = 0 [2,49].

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и - 3.

По формулам Виета

p = x1 + x2 = - 2, q = x1 x2 = - 3.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 + 2х - 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители

Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что освоение темы "Квадратные уравнения" поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Важную роль в учебном процессе играют формы организации или виды обучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогического процесса.

Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися является урок.

1.3 Характеристика разнообразных форм уроков

Урок - логически законченный, целостный, ограниченных определенными рамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса, где представлены все основные элементы этого процесса (цели, содержание, средства, методы, формы организации). Урок представляет собой форму организации деятельности учителя и учащихся.

Урок - это занятие с классом учеников, продолжительностью 40-45 минут. Количество таких занятий определяет учебный план школы, а их содержание - Госстандарт и школьные программы [2,65].

Понятие урок имеет характерные черты (основные характеристики), позволяющие рассматривать его с разных позиций. Иначе, урок состоит из компонентов:

·                   цель;

·                   содержание;

·                   средства и методы обучения;

·                   организация учебной деятельности.

Главную роль среди основных характеристик урока играют цели урока: образовательные, воспитательные и развивающие. В соответствии с целью урока отбирается содержание обучения, и, прежде всего содержание урока.

На разных уроках ставится разная дидактическая цель и дидактические задачи не могут иметь одинаковые объем и значение, поэтому различают:

урок обычный, на котором решается лишь одна дидактическая задача (изучение нового материала, или закрепление изученного, или контроль);

урок комбинированный (смешанный), где последовательно решаются несколько дидактических задач;

урок синтетический, на котором решаются одновременно несколько дидактических задач.

В практике обучения наиболее часто проводятся комбинированные уроки. Структура такого урока включает:

1)                Организационный момент.

2)                Проверка знаний и умений учащихся.

3)                Изучение нового материала.

4)                Закрепление изученного материала.

Выделяют четыре основных типа уроков:

·                   урок по ознакомлению с новым материалом;

·                   урок по закреплению изученного материала;

·                   урок проверки знаний, умений и навыков;

·                   урок по систематизации и обобщению изученного материала.

Кроме рассмотренной классификации получила распространение классификация по способам проведения уроков (урок-лекция, урок-практикум, урок-презентация, урок - контрольная работа, комбинированный урок, урок - игра и т.д.) [22,64].

Урок - лекция. Материал лекции должен быть интересным, сопровождаться показом наглядных пособий, содержать много примеров из опыта учителя и школьников. Лекция проводится в течение 20 минут, в остальное время урока можно провести самостоятельную работу по проверке усвоения материала или провести этап закрепления и систематизации знаний.

Как правило, это уроки, на которых излагается значительная часть теоретического материала изучаемой темы.

По характеру изложения и деятельности учащихся лекция может быть информационной, объяснительной, лекцией-беседой и т.д.

Лекционная форма проведения уроков целесообразна при:

изучении нового материала, мало связанного ранее изученным;

рассмотрении сложного для самостоятельного изучения материала;

подаче информации крупными блоками;

применении изученного материала при решении практических задач.

Структура лекции определяется выбором темы и цели урока. Другими словами, лекция строится на сочетании этапов урока: организации; постановки цели и актуализации знаний, сообщение знаний учителем и усвоения их учащимися; определении домашнего задания.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5