 |
|
|||
 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меню |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
-Функция косинус · -Функция тангенс · -Функция котангенс · 8)Обратная функция · -Arcsin x · -Arctg x · 9)Список Литературы введение
К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменная х - независимая переменная или аргумент. Переменная у - зависимая переменная Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х. Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция. Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x) Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x) Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2) Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2) Линейная функция. Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число - свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси . Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси . График линейной функции - прямая 1. Область определения – все действительные числа. 2. Область значений – все действительные числа. 3. Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b). 4. Линейная функция ни четная ни нечетная. 5. Функция возрастает если k>0, Функция убывает если k<0. 6. Функция непрерывна. Квадратичная функция.
Это функция вида , Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке . Парабола () В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз. .Парабола с вершиной в точке () 1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая. 2. При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.
3. Рис. 4 Рис. 5 4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. 5. Функция имеет единственную критическую точку 6. x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает. a. Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает. b. Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2-4ac)/4a) называется вершиной параболы. 7. Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b2-4ac)/4a)]. 8. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b2-4ac<0, пересечения с осью 0x нет. a. Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0). b. График функции 9. f(x)=ax2+bx+c 10. (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями: а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0); б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз; в) параллельным переносом r=(0; -((b2-4ac)/(4a))). Степенная функция.
Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи: а). Если , то . Тогда , ; если число - чётное, то и функция - чётная (то есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ). График степенной функции при б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если - чётное число, то и - чётная функция; если - нечётное число, то и - нечётная функция. График степенной функции при Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла). в). Если - не целое число, то, по определению, при : ; тогда , . График степенной функции при При , по определению, ; тогда . График степенной функции при 1. Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел. 2. Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел. 3. Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной. 4. Степенная функция непрерывна во всей области определения. 5. Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле (xa)¢= a.xa-1. Степенная функция xa монотонно возрастает во всей области определения при a<0. 6.
7. При a<0 и a>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1 – вогнутостью вниз. Показательная функция (экспонента).
Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид: .График показательной функции при При вид графика такой: Рис.1.20.График показательной функции при 1. Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая. 2. Область значения функции – множество всех положительных чисел. 3. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле (ax)¢ =axlna 4. При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает. 5. Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией. 6. График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1. 7. График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх. Логарифмическая функция.
Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид: График логарифмической функции при При график получается такой: График логарифмической функции при 1. Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥). 2. Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая. 3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле (loga x)¢ = 1/(x ln a). 4. Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает. 5. При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства loga 1 = 0, loga a =1. 6. При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх. тригонометрические функции
Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a. Функция синус . . Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков: График функции Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах. 1. Область определения – множество всех действительных чисел. 2. Область значения – промежуток [-1; 1]. 3. Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х. 4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p: sin (х+2p)= sin х. 5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z. 6. Промежутки знакопостоянства: sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z, sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn), n Î Z. 7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: (sin х)¢ =cos x. 8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z, и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z. 9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.
Функция косинус.
. Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков: 1. График функции Область определения – множество всех действительных чисел. 2. Область значения – промежуток [-1; 1]. 3. Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х. 4. Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p: cos (х+2p)= cos х. 5. Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z. 6. Промежутки знакопостоянства: cos х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn)), n Î Z, cos х<0 при x Î ((p/2)+2pn); ((3p)/2)+ 2pn)), n Î Z. 7. Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента: (cos х)¢ =-sin x. 8. Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn), n Î Z, и убывает при xÎ (2pn; p+ 2pn), n Î Z. Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные Функция тангенс.
(в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ; то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль. 1. График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn, n Î Z. 2. Область значения – множество всех действительных чисел. 3. Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х. 4. Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p: tg (х+p)= tg х. 5. Нули функции: tg х=0 при x=pn, n Î Z. 6. Промежутки знакопостоянства: tg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z, tg х<0 при x Î ((-p/2)+pn; pn), n Î Z. 7. Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения: (tg х)¢ =1/cos2 x. 8. Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn), n Î Z, Функция котангенс.
(в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ; то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0. 1. График функции Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z. 2. Область значения – множество всех действительных чисел. 3. Функция сtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х. 4. Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p: сtg (х+p)= ctg х. 5. Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n Î Z. 6. Промежутки знакопостоянства: ctg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z, ctg х<0 при x Î ((p/2)+pn; p(n+1)), n Î Z. 7. Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения: (ctg х)¢ =-(1/sin2 x). 8. Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (pn; p(n+1)), n Î Z.
Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно. Arcsin x : 1. Область определения – [-1; 1]. 2. Область значений – [-П\2; п\2]. 3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12) Графики главной ветви и Arctg x : 1. Область определений – R. 2. Область значений - интервал (-П\2; П\2). 3. Монотонно возрастающая функция. 4. прямые у=-П\2 и у=П\2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13) Графики главной ветви и Список использованной литературы 1. Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г. 2. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.
| |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| © 2010 Все права защищены. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
